高中联赛四川赛区-高中竞赛加分政策四川

2010年全国高中数学联赛四川赛区一等奖名单

序号 姓名 性别 学校 年级

1 赵明民 男 绵阳东辰中学 高三

2 王青璨 男 成都七中 高三

3 陈 嘉 男 成都石室中学 高三

4 周思杰 男 绵阳东辰中学 高三

5 涂瀚宇 男 南充高中 高一

6 赵健程 男 成都七中 高三

7 李城宇 男 成都七中 高三

8 叶伟成 男 成都石室中学 高二

9 王知恬 女 成都七中 高二

10 宋佳林 男 成都七中 高三

11 廖泓茨 男 成都彭州中学 高三

12 付文凯 男 自贡荣县中学 高三

13 黄思翰 男 成都七中 高三

14 王乾鹏 男 成都七中 高三

15 王丹晨 男 成都七中 高三

16 熊 垚 男 成都石室中学 高三

17 周翘楚 男 成都七中 高三

18 蒋一贤 男 绵阳南山中学 高三

19 欧天翔 男 成都七中 高二

20 龚 玺 男 绵阳中学 高三

21 赖 力 男 成都七中 高三

22 杨凡意 男 成都七中 高三

23 张翔禹 男 成都七中 高三

24 卢俊杰 男 成都石室中学 高三

25 房啸天 男 绵阳东辰中学 高三

26 吴籽杉 男 绵阳中学 高三

27 周 石 男 成都七中 高三

28 易灵飞 男 成都七中 高二

29 禹皓博 男 成都七中 高二

30 刘 帅 男 绵阳中学 高三

31 虞 浩 男 成都七中 高三

32 杨 航 男 绵阳中学 高三

33 何畇言 男 成都七中 高三

34 冯 瀚 男 成都七中 高三

35 钟友城 男 绵阳南山中学 高三

36 薛 超 男 成都石室中学 高三

37 凌 晨 男 成都七中 高三

38 林袆露 女 成都七中 高三

39 章 嵘 男 成都七中 高三

40 姚郁诗 女 成都七中 高二

41 赵静闲 女 绵阳南山中学 高三

42 巴闻嘉 女 成都七中 高二

43 骆 奥 男 成都七中 高三

44 周稔集 男 绵阳中学 高三

45 李卓伦 男 成都七中 高三

初高中足球联赛是什么样的

一般都是淘汰赛，比的场次比较少的，为了保护学生的安全！高中联赛一到三年级都可以比赛，主要看组织者的安排了，如果一个学校的班级多的话可以本校内举行，可以在三个不同年级里的第一再决出个第一！

08年全国高中数学联赛决赛四川赛区答案

一、（本题满分50分）

如题一图，给定凸四边形 ， ， 是平面上的动点，令 ．

（Ⅰ）求证：当 达到最小值时， 四点共圆；

（Ⅱ）设 是 外接圆 的 上一点，满足： ， ， ，又 是 的切线， ，求 的最小值．

[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点 ，有

．

因此

．

因为上面不等式当且仅当 顺次共圆时取等号，因此当且仅当 在 的外接圆且在 上时，

． …10分

又因 ，此不等式当且仅当 共线且 在 上时取等号．因此当且仅当 为 的外接圆与 的交点时， 取最小值 ．

故当 达最小值时， 四点共圆． …20分

（Ⅱ）记 ，则 ，由正弦定理有 ，从而 ，即 ，所以

，

整理得 ， …30分

解得 或 （舍去），

故 ， ．

由已知 = ,有 ，即 ，整理得 ，故 ，可得 ， …40分

从而 ， ， 为等腰直角三角形．因 ，则 ．

又 也是等腰直角三角形，故 ， ， ．

故 ． …50分

[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接 交 的外接圆 于 点（因为 在 外，故 在 上）．

过 分别作 的垂线，两两相交得 ，易知 在 内，从而在 内，记 之三内角分别为 ，则 ，又因 ， ，得 ，同理有 ， ，

所以 ∽ ． …10分

设 ， ， ，

则对平面上任意点 ，有

，

从而 ．

由 点的任意性，知 点是使 达最小值的点．

由点 在 上，故 四点共圆． …20分

（Ⅱ）由（Ⅰ）， 的最小值

，

记 ，则 ，由正弦定理有 ，从而 ，即 ，所以

，

整理得 ， …30分

解得 或 （舍去），

故 ， ．

由已知 = ,有 ，即 ，整理得 ，故 ，可得 ， …40分

所以 ， 为等腰直角三角形， ， ，因为 ， 点在 上， ，所以 为矩形， ，故 ，所以 ． …50分

[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用 等代表 所对应的复数．

由三角形不等式，对于复数 ，有

，

当且仅当 与 （复向量）同向时取等号．

有 ，

所以

（1）

，

从而

． （2） …10分

（1）式取等号的条件是

复数 与

同向，故存在实数 ，使得

，

，

所以 ，

向量 旋转到 所成的角等于 旋转到 所成的角，

从而 四点共圆．

（2）式取等号的条件显然为 共线且 在 上．

故当 达最小值时 点在 之外接圆上， 四点共圆． …20分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．

以下同解法一．

二、（本题满分50分）

设 是周期函数， 和1是 的周期且 ．证明：

（Ⅰ）若 为有理数，则存在素数 ，使 是 的周期；

（Ⅱ）若 为无理数，则存在各项均为无理数的数列 满足 ，且每个 都是 的周期．

[证] （Ⅰ）若 是有理数，则存在正整数 使得 且 ，从而存在整数 ，使得

．

于是

是 的周期． …10分

又因 ，从而 ．设 是 的素因子，则 ， ，从而

是 的周期． …20分

（Ⅱ）若 是无理数，令

，

则 ，且 是无理数，令

，

……

，

……． …30分

由数学归纳法易知 均为无理数且 ．又 ，故 ，即 ．因此 是递减数列． …40分

最后证：每个 是 的周期．事实上，因1和 是 的周期，故 亦是 的周期．假设 是 的周期，则 也是 的周期．由数学归纳法，已证得 均是 的周期． …50分

三、（本题满分50分）

设 ， ．证明：当且仅当 时，存在数列 满足以下条件：

（ⅰ） ， ；

（ⅱ） 存在；

（ⅲ） ， ．

[证] 必要性：假设存在 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化为

， ，

其中 ．

将上式从第1项加到第 项，并注意到 得

． …10分

由（ⅱ）可设 ，将上式取极限得

，

因此 ． …20分

充分性：假设 ．定义多项式函数如下：

， ，

则 在[0,1]上是递增函数，且

， ．

因此方程 在[0,1]内有唯一的根 ，且 ，即 ． …30分

下取数列 为 ， ，则明显地 满足题设条件（ⅰ），且

．

因 ，故 ，因此 ，即 的极限存在，满足（ⅱ）． …40分

最后验证 满足（ⅲ），因 ，即 ，从而

．

综上，存在数列 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分

全国高中数学联赛省一等奖

每个省份都有全国高中数学联赛，初赛由各省命题，复赛试题全国统一，时间一般在十月份的第二个星期日。由各省自主判卷，一等奖分数线也不尽相同（各省的一等奖和其他省没什么关系）。

全国高中数学联赛书：关于初赛的有那种综合全国各地初赛试题的汇编，建议做一做，也练练手。复赛考得就比较活了，要是想了解知识点可以买《奥赛经典》一套，和俗称“小蓝本”一套（到书店和店员说，都知道），要是想了解解题方法可以买单遵的一套《竞赛研究教程》。

其实从初中开始就可以参加，但是一般人都是在高三拿到一等奖（也有那种牛人初中就有了）。